(Play) cat and mouse with
（忍び寄って）襲う、狩り出す
（根気よく）捜し出す
（★研究社 リーダーズ英和辞典）
猫とネズミが遊ぶ様子、つまり猫がねずみの後を追っている様子で
ちょうど、トムとジェリーのような関係でしょうか。
英英辞典では、cat and mouse
で意味が掲載されておりました。
cat and mouse
= A series of cunning manoeuvres designed to thwart an opponent.
（★Oxford Dictionary）
難しい単語が頻出しておりますが、
「opponent（敵）をthwart（邪魔する）ためにdesign（計画）された
cunning manoeuvres（ずるい戦略）の一連のもの」
ちなみに、作戦行動、（軍事）大演習、機略の意味のこれ。
manoeuvres →イギリス
maneuvers →アメリカ英語
play cat and mouseは「（相手を妨害するための）ずるい戦略や作戦を行いあう」
「相手を伺って追いかける」ことを意味します。
研究社 新英和中辞典には以下の意味があるそうです。わかりやすいです。
１、追えば逃げ逃げると追いかける
２、最上の攻撃チャンスをうかがう
● 例文
He continues to play cat and mouse with the UN inspection teams.
「彼は国連の捜査班といたちごっこを続けている。」