Put one’s best foot forward
精いっぱい急ぐ[歩く]、
全力を尽くす、
できるだけよい印象を与えようとする
（★研究社 リーダーズ英和辞典）
= set one’s best leg foremost
とも言います。
Best foot forward! で
一所懸命に[全力で]がんばれ！という意味になります。
英英辞典ではどうでしょうか。
Put one’s best foot forward
= Embark on an undertaking with as much effort and determination as possible.
（★ Oxford Dictionary）
直訳すると、
「可能な限り、尽力（effort）をつくし、強い意志（determination）で着手（undertake)し始める(Embark)」ということで
平たく言うと、「出来る限り頑張る」ということになります。
Cambridge Dictionaryではこのような意味が載っています。
= to try as hard as you can
● 例文
An actuary from Brentford will be putting her best foot forward in this year’s London marathon
「ブレントフォードのアクチュアリーは、今年のロンドンマラさんで全力で頑張るつもりです。」
アクチュアリー＝保険数理士