Buckle down (to)
（仕事に）本気で取りかかる、取り組む、身を入れる
（★研究社 リーダーズ英和辞典）
Buckle自体は
もともと、「（ベルドやかばんの）バックル、留め金」の意味です。
動詞になると、「バックルを留める」という意味になります。
buckle down ではなく downを省いて
buckle to a task （任務にとりかかる）
と使われることもあります。
英英辞典ではいかがでしょう
buckle down
= Tackle a task with determination
（★ Oxford Dictionary）
この説明の中にもよく使うフレーズが２つ出てきました！
tackle a task = 仕事（任務）にとりかかる
with determination = 意を決して、決然と
上記のリーダースの意味と同じ意味あいですね。
● 同意語
get to work, get down to work, set to work, get down to business, roll up one’s sleeves, put one’s hand to the plough
● 例文
They will buckle down to negotiations over the next few months.
「彼らは今後２，３か月にかけて本腰を入れて交渉に取り組むだろう。」